使用matlab对图像进行傅里叶变换
(0)
代码：
I=imread('1.jpg');
I=rgb2gray(I);
I=im2double(I);
F=fft2(I);
F=fftshift(F);
F=abs(F);
T=log(F+1);
figure;
imshow(T,[]);
傅里叶变换：
分析代码：
1. I=imread('1.jpg');
读取图像，不多说了
2. I=rgb2gray(I);
将图像转换为灰度图，如果没有这一步的话，最终得到的傅里叶变换是这个样子的
(2)
3. I=im2double(I);
将图像的数据格式转换为double型的，此时图像的数值范围由原来的[0,255]，变成了[0,1],其实不进行转换的话，也可以进行傅里叶变换，只是傅里叶变换后的图像会有所不同，如(3)所示，可以跟图(1)比较一下看看效果，有时候不同的人得出的傅里叶变换结果不相同，也许就是这个原因
(3)
4. F=fft2(I);
进行傅里叶变换
5. F=fftshift(F);
对傅里叶变换后的图像进行象限转换，没有这一步的话，最终输出的结果是这样的
(4)
6. F=abs(F);
求傅里叶变换的模，我们都知道傅里叶变换后的结果为复数，包含real实部和imag虚部，而abs就是求复数的模，经过这一步，F的类型由复数的double变成了实数的double，如果没有这一步, matlab会给出提示，Warning: Displaying real part of complex input.最终输出的结果如下。
(5)
7. T=log(F+1);
经过前几步之后，我们得到了傅里叶变换的幅值，但是傅里叶变换后的数值范围非常大，maxF = 2.04e+05，minF = 0.009，如果不进行转换的话在图中显示就是图(6)的样子，中间有个小白点
(6)
那为什么要用log(F+1)呢。如图7所示，对(0，1)之间的x值，经过log(X)变换后会变成负数，而log(X+1)则将所有的x值，映射成正数，数值范围也更小一些。
(7)
8. figure;imshow(T,[]);
显示图像，之所以用imshow(T,[]);而不是imshow(T)。是因为即使经过对数变换后T的取值范围仍然大于[0,1]，maxT=12.23,minT=0.009。imshow(T)只会显示[0,1]的值，而imshow(T,[]) 会根据灰度图的数值范围来显示图像，相当于将[0.09,12.23]映射到[0,1]显示。
MATLAB快速傅里叶变换(fft)函数详解
The 'i' in the 'Nth root of unity' 是虚数单位
1. Y = fft(y);
2. Y = fft(y，N);
式中，y是序列，Y是序列的快速傅里叶变换。y可以是一向量或矩阵，若y为向量，则Y是y的FFT，并且与y具有相同的长度。若y为一矩阵，则Y是对矩阵的每一列向量进行FFT。
根据采样定理，fft能分辨的最高频率为采样频率的一半(即Nyquist频率)，函数fft返回值是以Nyqusit频率为轴对称的，Y的前一半与后一半是复数共轭关系。
作FFT分析时，幅值大小与输入点数有关，要得到真实的幅值大小，只要将变换后的结果乘以2除以N即可(但此时零频—直流分量—的幅值为实际值的2倍)。对此的解释是：Y除以N得到双边谱，再乘以2得到单边谱(零频在双边谱中本没有被一分为二，而转化为单边谱过程中所有幅值均乘以2，所以零频被放大了)。
若分析数据时长为T，则分析结果的基频就是f0=1/T，分析结果的频率序列为[0:N-1]*f0
在调用格式2中，函数执行N点FFT。若y为向量且长度小于N，则函数将y补零至长度N，若向量y的长度大于N，则函数截断y使之长度为N。
使用N点FFT时，若N大于向量y的长度，将给频谱分析结果带来变化，应该特别注意。
将对N点FFT进行举例，说明当N大于向量y的长度时给频谱分析带来的变化。
上图中，左列为信号时域图形，右列为对应信号的频谱图。可以看出当N大于向量y的长度时，由于fft自动将100s后的信号值补零，原信号实际变为左下角的时域图形，所以频率发生了变化(增加多种频率的小振幅振动，主峰幅值被削弱)。
使用N点FFT时，不应使N大于y向量的长度，否则将导致频谱失真。
clear all %清除内存所有变量
close all %关闭所有打开的图形窗口
%% 执行FFT点数与原信号长度相等(100点)
% 构建原信号
N=100; % 信号长度(变量@@@@@@@)
Fs=1; % 采样频率
dt=1/Fs; % 采样间隔
t=[0:N-1]*dt; % 时间序列
xn=cos(2*pi*0.24*[0:99])+cos(2*pi*0.26*[0:99]);
xn=[xn,zeros(1,N-100)]; % 原始信号的值序列
subplot(3,2,1) % 变量@@@@@@@
plot(t,xn) % 绘出原始信号
xlabel('时间/s'),title('原始信号(向量长度为100)') % 变量@@@@@@@
% FFT分析
NN=N; % 执行100点FFT
XN=fft(xn,NN)/NN; % 共轭复数，具有对称性
f0=1/(dt*NN); % 基频
f=[0:ceil((NN-1)/2)]*f0; % 频率序列
A=abs(XN); % 幅值序列
subplot(3,2,2),stem(f,2*A(1:ceil((NN-1)/2)+1)),xlabel('频率/Hz') % 绘制频谱(变量@@@@@@@)
axis([0 0.5 0 1.2]) % 调整坐标范围
title('执行点数等于信号长度(单边谱100执行点)'); % 变量@@@@@@@
%% 执行FFT点数大于原信号长度
% 构建原信号
N=100; % 信号长度(变量@@@@@@@)
Fs=1; % 采样频率
dt=1/Fs; % 采样间隔
t=[0:N-1]*dt; % 时间序列
xn=cos(2*pi*0.24*[0:99])+cos(2*pi*0.26*[0:99]);
xn=[xn,zeros(1,N-100)]; % 原始信号的值序列
subplot(3,2,3) % 变量@@@@@@@
plot(t,xn) % 绘出原始信号
xlabel('时间/s'),title('原始信号(向量长度为100)') % 变量@@@@@@@
% FFT分析
NN=120; % 执行120点FFT(变量@@@@@@@)
XN=fft(xn,NN)/NN; % 共轭复数，具有对称性
f0=1/(dt*NN); % 基频
f=[0:ceil((NN-1)/2)]*f0; % 频率序列
A=abs(XN); % 幅值序列
subplot(3,2,4),stem(f,2*A(1:ceil((NN-1)/2)+1)),xlabel('频率/Hz') % 绘制频谱(变量@@@@@@@)
axis([0 0.5 0 1.2]) % 调整坐标范围
title('执行点数大于信号长度(单边谱120执行点)'); % 变量@@@@@@@
%% 执行FFT点数与原信号长度相等(120点)
% 构建原信号
N=120; % 信号长度(变量@@@@@@@)
Fs=1; % 采样频率
dt=1/Fs; % 采样间隔
t=[0:N-1]*dt; % 时间序列
xn=cos(2*pi*0.24*[0:99])+cos(2*pi*0.26*[0:99]);
xn=[xn,zeros(1,N-100)]; % 原始信号的值序列
subplot(3,2,5) % 变量@@@@@@@
plot(t,xn) % 绘出原始信号
xlabel('时间/s'),title('原始信号(向量长度为120)') % 变量@@@@@@@
% FFT分析
NN=120; % 执行120点FFT(变量@@@@@@@)
XN=fft(xn,NN)/NN; % 共轭复数，具有对称性
f0=1/(dt*NN); % 基频
f=[0:ceil((NN-1)/2)]*f0; % 频率序列
A=abs(XN); % 幅值序列
subplot(3,2,6),stem(f,2*A(1:ceil((NN-1)/2)+1)),xlabel('频率/Hz') % 绘制频谱(变量@@@@@@@)
axis([0 0.5 0 1.2]) % 调整坐标范围
title('执行点数等于信号长度(单边谱120执行点)'); % 变量@@@@@@@
